ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેના સાબિત કરો:
$3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$
$3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$
(N/A) ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $3 \times 6 + 6 \times 9 + 9 \times 12 + \ldots + (3n)(3n + 3) = 3n(n + 1)(n + 2)$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$LHS$ = $3 \times 6 = 18$. $RHS$ = $3(1)(1 + 1)(1 + 2) = 3 \times 2 \times 3 = 18$. $LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $3 \times 6 + 6 \times 9 + \ldots + (3k)(3k + 3) = 3k(k + 1)(k + 2)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k + 1)$ સત્ય છે,એટલે કે $3 \times 6 + \ldots + (3k)(3k + 3) + (3(k + 1))(3(k + 1) + 3) = 3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
ધારણાની બંને બાજુએ $(3(k + 1))(3(k + 1) + 3)$ ઉમેરતા:
$LHS$ = $3k(k + 1)(k + 2) + (3k + 3)(3k + 6)$
= $3k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1) \times 3(k + 2)$
= $3(k + 1)(k + 2) [k + 3]$
= $3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
આમ,$P(k + 1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$LHS$ = $3 \times 6 = 18$. $RHS$ = $3(1)(1 + 1)(1 + 2) = 3 \times 2 \times 3 = 18$. $LHS$ = $RHS$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $k \in N$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $3 \times 6 + 6 \times 9 + \ldots + (3k)(3k + 3) = 3k(k + 1)(k + 2)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k + 1)$ સત્ય છે,એટલે કે $3 \times 6 + \ldots + (3k)(3k + 3) + (3(k + 1))(3(k + 1) + 3) = 3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
ધારણાની બંને બાજુએ $(3(k + 1))(3(k + 1) + 3)$ ઉમેરતા:
$LHS$ = $3k(k + 1)(k + 2) + (3k + 3)(3k + 6)$
= $3k(k + 1)(k + 2) + 3(k + 1) \times 3(k + 2)$
= $3(k + 1)(k + 2) [k + 3]$
= $3(k + 1)(k + 2)(k + 3)$.
આમ,$P(k + 1)$ સત્ય છે. ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.
Explore More
Similar Questions
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનું સાબિત કરો:
$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \ldots + n(n+1)(n+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
Medium
View Solutionગણિતના અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n > 1$ માટે $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{13}{24}$.
Difficult
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને તમામ $n \in N$ માટે નીચેનાનું સાબિતી આપો:
$a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$a+(a+d)+(a+2d)+\ldots+(a+(n-1)d) = \frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
Difficult
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$.
Medium
View Solutionધારો કે $P(n): 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2 = \frac{6(n-1)(n-2) \ldots(n-2020)+2n^3+3n^2+n}{6}$,તમામ $n \in N$ માટે. તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo