ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$.

(N/A) $P(n): 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$
પગલું $1$: $n=1$ માટે,
$L.H.S. = 1+2 = 3$
$R.H.S. = 2^{1+1}-1 = 2^{2}-1 = 4-1 = 3$
$L.H.S. = R.H.S.$ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે,
$1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}=2^{k+1}-1 \quad \dots(i)$
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે.
$P(k+1): 1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}+2^{k+1} = 2^{(k+1)+1}-1$
$L.H.S. = (1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}) + 2^{k+1}$
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L.H.S. = (2^{k+1}-1) + 2^{k+1}$
$= 2 \times 2^{k+1} - 1$
$= 2^{k+2} - 1$
$= 2^{(k+1)+1} - 1 = R.H.S.$
આમ,જ્યારે $P(k)$ સત્ય હોય ત્યારે $P(k+1)$ પણ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ એ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે સત્ય છે.