ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે:
$7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
$7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
(N/A) ધારો કે $P(n): 7^{n}-3^{n}$ એ $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$7^{1}-3^{1} = 4$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $m \in N$ માટે $P(m)$ સત્ય છે,એટલે કે $7^{m}-3^{m} = 4k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$7^{m} = 4k + 3^{m}$.
પગલું $3$: $n=m+1$ માટે,આપણી પાસે $7^{m+1}-3^{m+1}$ છે.
$= 7 \cdot 7^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 7(4k + 3^{m}) - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 7 \cdot 3^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 4 \cdot 3^{m}$
$= 4(7k + 3^{m})$.
કારણ કે $4(7k + 3^{m})$ એ $4$ નો ગુણક છે,તેથી $P(m+1)$ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$7^{n}-3^{n}$ એ તમામ $n \in N$ માટે $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n=1$ માટે,$7^{1}-3^{1} = 4$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ $m \in N$ માટે $P(m)$ સત્ય છે,એટલે કે $7^{m}-3^{m} = 4k$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે. તેથી,$7^{m} = 4k + 3^{m}$.
પગલું $3$: $n=m+1$ માટે,આપણી પાસે $7^{m+1}-3^{m+1}$ છે.
$= 7 \cdot 7^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 7(4k + 3^{m}) - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 7 \cdot 3^{m} - 3 \cdot 3^{m}$
$= 28k + 4 \cdot 3^{m}$
$= 4(7k + 3^{m})$.
કારણ કે $4(7k + 3^{m})$ એ $4$ નો ગુણક છે,તેથી $P(m+1)$ સત્ય છે.
ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$7^{n}-3^{n}$ એ તમામ $n \in N$ માટે $4$ વડે વિભાજ્ય છે.
Explore More
Similar Questions
ધારો કે $P(n)$ એક વિધાન છે અને તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n$ માટે $P(n) \implies P(n + 1)$ છે,તો $P(n)$ ક્યારે સત્ય છે?
Easy
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,સંખ્યાઓ $a_n$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે:
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$.
તો,$a_n$ ની કિંમત શું થાય?
$a_0 = 1, a_{n+1} = 3n^2 + n + a_n, (n \geq 0)$.
તો,$a_n$ ની કિંમત શું થાય?
DifficultTS EAMCET 2009
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને દર્શાવો કે શ્રેણી $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \ldots$ માટે,જ્યાં $d_{1}=2$ અને $d_{k}=\frac{d_{k-1}}{k}$ તમામ $k \geq 2$ માટે આપેલ છે,ત્યારે તેનું સામાન્ય પદ $d_{n}=\frac{2}{n!}$ તમામ $n \in N$ માટે થાય છે.
Difficult
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા સાબિત કરો કે: $\sqrt{n} < \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}$ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $n \geq 2$ માટે.
Difficult
View Solutionગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,સંખ્યાઓ $a_n$ ને $a_0=1$ અને $a_{n+1}=3n^2+n+a_n$ $(n \geq 0)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તો $a_n=$
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo