રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસ $A$ અને $B$ એ $T$ અને $2T$ અર્ધ-આયુષ્ય સાથે $C$ માં વિઘટન પામે છે. $t = 0$ સમયે,$A$ અને $B$ દરેકના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $x$ છે. જ્યારે $A$ અને $B$ ના વિઘટનનો દર સમાન હોય ત્યારે $C$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા કેટલી હશે?

એક રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થમાં,$t$ સમય પછી બાકી રહેલા સક્રિય પદાર્થનો અંશ $\frac{9}{16}$ છે. $\frac{t}{2}$ સમય પછી બાકી રહેલો અંશ કેટલો હશે?

એક રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાનો અર્ધ-આયુષ્ય સમય $5$ વર્ષ છે. $10$ વર્ષમાં ક્ષય થવાની સંભાવના ........$\%$ હશે.

એક ન્યુક્લિયર પાવર પ્લાન્ટ જે ગામને વિદ્યુત પાવર પૂરો પાડે છે,તે બળતણ તરીકે $T$ વર્ષના અર્ધ-આયુષ્ય ધરાવતા રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનો ઉપયોગ કરે છે. શરૂઆતમાં બળતણનો જથ્થો એવો છે કે ગામની કુલ પાવરની જરૂરિયાત તે સમયે પ્લાન્ટમાંથી ઉપલબ્ધ વિદ્યુત પાવરના $12.5 \%$ છે. જો પ્લાન્ટ $n T$ વર્ષના મહત્તમ સમયગાળા માટે ગામની કુલ પાવરની જરૂરિયાતો પૂરી કરી શકતો હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય કેટલું હશે?

બે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થો $X_1$ અને $X_2$ ના ક્ષય અચળાંકો અનુક્રમે $10 \lambda$ અને $\lambda$ છે. જો શરૂઆતમાં તેમની પાસે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન હોય, તો કેટલા સમય પછી $X_1$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા અને $X_2$ ના ન્યુક્લિયસની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $1 / e$ થશે?

જો તમામ સ્વતંત્ર રાશિઓમાં માપન ક્ષતિઓ જાણીતી હોય,તો કોઈપણ આશ્રિત રાશિમાં ક્ષતિ નક્કી કરવી શક્ય છે. આ શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીને અને ક્ષતિના પ્રથમ ઘાત પર વિસ્તરણને કાપીને કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે,સંબંધ $z = x / y$ ધ્યાનમાં લો. જો $x, y$ અને $z$ માં ક્ષતિઓ અનુક્રમે $\Delta x, \Delta y$ અને $\Delta z$ હોય,તો $z \pm \Delta z = \frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y} = \frac{x}{y} (1 \pm \frac{\Delta x}{x}) (1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$. $(1 \pm \frac{\Delta y}{y})^{-1}$ માટે શ્રેણી વિસ્તરણ,$\Delta y / y$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી,$1 \mp (\Delta y / y)$ છે. સ્વતંત્ર ચલોમાં સાપેક્ષ ક્ષતિઓ હંમેશા ઉમેરવામાં આવે છે. તેથી $z$ માં ક્ષતિ $\Delta z = z (\frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y})$ હશે. ઉપરોક્ત તારણ એવી ધારણા કરે છે કે $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$. તેથી,આ રાશિઓની ઉચ્ચ ઘાતને અવગણવામાં આવે છે.
$(1)$ ગુણોત્તર $r = \frac{(1 - a)}{(1 + a)}$ ધ્યાનમાં લો જે પરિમાણરહિત રાશિ $a$ માપીને નક્કી કરવામાં આવે છે. જો $a$ ના માપનમાં ક્ષતિ $\Delta a$ $(\Delta a / a \ll 1)$ હોય,તો ક્ષતિ $\Delta r$ શું છે?
$(2)$ એક પ્રયોગમાં,રેડિયોએક્ટિવ ન્યુક્લિયસની પ્રારંભિક સંખ્યા $3000$ છે. એવું જોવા મળ્યું છે કે પ્રથમ $1.0 \ s$ માં $1000 \pm 40$ ન્યુક્લિયસ ક્ષય પામ્યા છે. $|x| < 1$ માટે,$\ln(1 + x) = x$ એ $x$ માં પ્રથમ ઘાત સુધી છે. ક્ષય અચળાંક $\lambda$ ના નિર્ધારણમાં ક્ષતિ $\Delta \lambda$ ($s^{-1}$ માં) કેટલી છે?