सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|=0$.

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|$ है।
सारणिक के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हम दूसरी पंक्ति को दो भागों में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a & b & c \\ x & y & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ 2x & 2y & 2z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
पहले सारणिक में,पहली पंक्ति और दूसरी पंक्ति समान हैं $(R_1 = R_2)$,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,हम दूसरी पंक्ति से $2$ उभयनिष्ठ ले सकते हैं:
$\Delta = 0 + 2 \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ x & y & z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
यहाँ,दूसरी पंक्ति और तीसरी पंक्ति समान हैं $(R_2 = R_3)$,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = 0 + 2(0) = 0$.