यदि {I_1} = intlimits_1^{sin theta } {frac{x} | vedclass

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Question

(D) दिया गया है ${I_1} = \int_1^{\sin 	heta } {\frac{x}{{1 + x^2}}} dx$ और ${I_2} = \int_1^{\csc 	heta } {\frac{1}{{x\left( {{x^2} + 1} ight)}}} d

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$0$

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(D) दिया गया है ${I_1} = \int_1^{\sin 	heta } {\frac{x}{{1 + x^2}}} dx$ और ${I_2} = \int_1^{\csc 	heta } {\frac{1}{{x\left( {{x^2} + 1} ight)}}} dx$.${I_2}$ के लिए,$x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है।जब $x=1, t=1$ और जब $x=\csc 	heta, t=\sin 	heta$.${I_2} = \int_1^{\sin 	heta } {\frac{{ - \frac{1}{t^2} dt}}{{\frac{1}{t}\left( {\frac{1}{t^2} + 1} ight)}}} = \int_1^{\sin 	heta } {\frac{{ - \frac{1}{t^2} dt}}{{\frac{1}{t}\left( {\frac{{1 + t^2}}{{t^2}}} ight)}}} = \int_1^{\sin 	heta } {\frac{{ - t dt}}{{1 + t^2}}} = - \int_1^{\sin 	heta } {\frac{t}{{1 + t^2}}} dt = -{I_1}$.अतः,${I_1} + {I_2} = 0$.अब,सारणिक $\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \ {{e^{{I_1} + {I_2}}}}&{I_2^2}&{ - 1} \ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} ight|$ पर विचार करें।चूंकि ${I_1} + {I_2} = 0$,इसलिए $e^{{I_1} + {I_2}} = e^0 = 1$.$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \ 1&{I_2^2}&{ - 1} \ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} ight|$.संक्रिया $C_1 ightarrow C_1 + C_3$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\Delta = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1} + {I_2}}&{I_1^2}&{{I_2}} \ {1 - 1}&{I_2^2}&{ - 1} \ {1 - 1}&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} ight| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{I_1^2}&{{I_2}} \ 0&{I_2^2}&{ - 1} \ 0&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} ight|$.चूंकि प्रथम स्तंभ के सभी अवयव शून्य हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

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