સાબિત કરો કે $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|=0$.
(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2x & b+2y & c+2z \\ x & y & z\end{array}\right|$ છે.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બીજી હારને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a & b & c \\ x & y & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ 2x & 2y & 2z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ હાર અને બીજી હાર સમાન છે $(R_1 = R_2)$,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,આપણે બીજી હારમાંથી $2$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$\Delta = 0 + 2 \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ x & y & z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
અહીં,બીજી હાર અને ત્રીજી હાર સમાન છે $(R_2 = R_3)$,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
આમ,$\Delta = 0 + 2(0) = 0$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને,આપણે બીજી હારને બે ભાગમાં વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a & b & c \\ x & y & z\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ 2x & 2y & 2z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,પ્રથમ હાર અને બીજી હાર સમાન છે $(R_1 = R_2)$,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,આપણે બીજી હારમાંથી $2$ સામાન્ય કાઢી શકીએ છીએ:
$\Delta = 0 + 2 \left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ x & y & z \\ x & y & z\end{array}\right|$.
અહીં,બીજી હાર અને ત્રીજી હાર સમાન છે $(R_2 = R_3)$,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
આમ,$\Delta = 0 + 2(0) = 0$.
Explore More
Similar Questions
જો $a_{n} (>0)$ એ $G$.$P$. (ગુણોત્તર શ્રેણી) નું $n$-મું પદ હોય, તો નિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{lll}\log a_{n} & \log a_{n+1} & \log a_{n+2} \\ \log a_{n+3} & \log a_{n+4} & \log a_{n+5} \\ \log a_{n+6} & \log a_{n+7} & \log a_{n+8}\end{array}\right|$ ની કિંમત કેટલી થાય?
DifficultWBJEE 2021
View Solutionનિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$
$\left|\begin{array}{ccc}a^{2}+1 & a b & a c \\ a b & b^{2}+1 & b c \\ c a & c b & c^{2}+1\end{array}\right|=1+a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Difficult
View Solutionજો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(b + c)}^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{{(c + a)}^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{{(a + b)}^2}}\end{array}} \right| = k\,abc{(a + b + c)^3}$ હોય,તો $k$ ની કિંમત શોધો.
Difficult
View Solutionનિશ્ચાયક $\left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin (\gamma+\delta)\end{array}\right|$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
MediumKCET 2011
View Solutionનિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x),$ જ્યાં $p$ એ કોઈ અદિશ છે.
$\left|\begin{array}{lll}x & x^{2} & 1+p x^{3} \\ y & y^{2} & 1+p y^{3} \\ z & z^{2} & 1+p z^{3}\end{array}\right|=(1+p x y z)(x-y)(y-z)(z-x),$ જ્યાં $p$ એ કોઈ અદિશ છે.
Difficult
View SolutionVedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D exam papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See Demo