સાબિત કરો કે કોઈપણ બે શૂન્યેતર સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ માટે,$|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ એ $|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ ને લંબ છે.

બે સદિશો લંબ છે તેમ દર્શાવવા માટે,તેમનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) $0$ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\vec{u} = |\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ અને $\vec{v} = |\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$.
અદિશ ગુણાકાર $\vec{u} \cdot \vec{v}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot (|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a})$
અદિશ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= |\vec{a}|^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{b} \cdot \vec{a}) + |\vec{b}||\vec{a}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a})$
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ અને $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2$
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$
$= 0$
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ અને $|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ એકબીજાને લંબ છે.