सिद्ध कीजिए कि किन्हीं दो शून्येतर सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,$|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$,$|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ पर लंब है।

यह दर्शाने के लिए कि दो सदिश लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल (dot product) $0$ होना चाहिए।
माना $\vec{u} = |\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ और $\vec{v} = |\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ है।
अदिश गुणनफल $\vec{u} \cdot \vec{v}$ की गणना करते हैं:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}) \cdot (|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a})$
अदिश गुणनफल के वितरण नियम का उपयोग करते हुए:
$= |\vec{a}|^2 (\vec{b} \cdot \vec{b}) - |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{b} \cdot \vec{a}) + |\vec{b}||\vec{a}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 (\vec{a} \cdot \vec{a})$
चूंकि $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ और $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$:
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{a}||\vec{b}| (\vec{a} \cdot \vec{b}) - |\vec{b}|^2 |\vec{a}|^2$
$= |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2$
$= 0$
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए सदिश $|\vec{a}| \vec{b}+|\vec{b}| \vec{a}$ और $|\vec{a}| \vec{b}-|\vec{b}| \vec{a}$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।