दिखाइए कि $\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})$ का परिमाण तीन सदिशों $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा निर्मित समानांतर षट्फलक (parallelepiped) के आयतन के बराबर होता है।

(N/A) समानांतर षट्फलक का आयतन उसके आधार के क्षेत्रफल और उसकी ऊंचाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है।
मान लीजिए कि समानांतर षट्फलक के तीन आसन्न किनारों को दर्शाने वाले सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं।
समानांतर षट्फलक का आधार सदिशों $\vec{b}$ और $\vec{c}$ द्वारा बनता है। इस आधार का क्षेत्रफल क्रॉस प्रोडक्ट के परिमाण द्वारा दिया जाता है: $Area = |\vec{b} \times \vec{c}|$.
सदिश $\vec{b} \times \vec{c}$ की दिशा आधार के लंबवत होती है,अर्थात $\vec{b}$ और $\vec{c}$ वाले तल के लंबवत होती है।
समानांतर षट्फलक की ऊंचाई $h$,सदिश $\vec{a}$ का लंबवत सदिश $\vec{n} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|}$ की दिशा पर प्रक्षेप है।
अतः,$h = |\vec{a} \cdot \hat{n}| = \left| \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \right|$.
आयतन $V$ को $V = Area \times h = |\vec{b} \times \vec{c}| \times \left| \vec{a} \cdot \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{|\vec{b} \times \vec{c}|} \right| = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,अदिश त्रिक गुणनफल $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ समानांतर षट्फलक के आयतन को दर्शाता है।