સાબિત કરો કે વિધેય $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ જે $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે.

(A) આપેલ છે કે $f : R \rightarrow \{ x \in R : -1 < x < 1 \}$ જ્યાં $f(x) = \frac{x}{1+|x|}$.
એક-એક માટે:
ધારો કે $x, y \in R$ માટે $f(x) = f(y)$.
જો $x$ અને $y$ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોય,જેમ કે $x > 0$ અને $y < 0$,તો $f(x) = \frac{x}{1+x} > 0$ અને $f(y) = \frac{y}{1-y} < 0$. તેથી $f(x) \neq f(y)$.
જો $x, y \geq 0$ હોય,તો $\frac{x}{1+x} = \frac{y}{1+y} \Rightarrow x + xy = y + xy \Rightarrow x = y$.
જો $x, y < 0$ હોય,તો $\frac{x}{1-x} = \frac{y}{1-y} \Rightarrow x - xy = y - xy \Rightarrow x = y$.
આમ,$f$ એક-એક છે.
વ્યાપ્ત માટે:
ધારો કે $y \in (-1, 1)$. આપણે એવો $x \in R$ શોધવો છે કે જેથી $f(x) = y$.
જો $y \geq 0$ હોય,તો $x = \frac{y}{1-y}$ લો. $0 \leq y < 1$ હોવાથી,$x \geq 0$. તેથી $f(x) = \frac{\frac{y}{1-y}}{1 + \frac{y}{1-y}} = \frac{y}{1-y+y} = y$.
જો $y < 0$ હોય,તો $x = \frac{y}{1+y}$ લો. $-1 < y < 0$ હોવાથી,$x < 0$. તેથી $f(x) = \frac{\frac{y}{1+y}}{1 - \frac{y}{1+y}} = \frac{y}{1+y-y} = y$.
દરેક $y \in (-1, 1)$ માટે એવો $x \in R$ મળે છે કે જેથી $f(x) = y$,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.