સાબિત કરો કે $n, n+4, n+8, n+12$ અને $n+16$ માંથી માત્ર એક જ સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય છે,જ્યાં $n$ કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક છે.

(N/A) યુક્લિડના ભાગાકારના પૂર્વપ્રમેય મુજબ,કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $5q, 5q+1, 5q+2, 5q+3,$ અથવા $5q+4$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $q$ એ અનૃણ પૂર્ણાંક છે.
દરેક કિસ્સા માટે આપણે ${n, n+4, n+8, n+12, n+16}$ ના સમૂહની વિભાજ્યતા તપાસીએ:
$1$. જો $n = 5q$ હોય,તો $n$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$2$. જો $n = 5q+1$ હોય,તો $n+4 = 5q+1+4 = 5q+5 = 5(q+1)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$3$. જો $n = 5q+2$ હોય,તો $n+8 = 5q+2+8 = 5q+10 = 5(q+2)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$4$. જો $n = 5q+3$ હોય,તો $n+12 = 5q+3+12 = 5q+15 = 5(q+3)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
$5$. જો $n = 5q+4$ હોય,તો $n+16 = 5q+4+16 = 5q+20 = 5(q+4)$,જે $5$ વડે વિભાજ્ય છે.
દરેક કિસ્સામાં,પાંચ પદોમાંથી માત્ર એક જ પદ $5$ વડે વિભાજ્ય છે.