सिद्ध कीजिए कि $r$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई $\frac{4r}{3}$ है।

(A) माना गोले की त्रिज्या $r$ है। शंकु की आधार त्रिज्या $R$ और ऊँचाई $h$ है। गोले का केंद्र $B$ है। शंकु का शीर्ष $A$ है और आधार की त्रिज्या $CD$ है। $\triangle BCD$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$BC^2 + CD^2 = BD^2$। यहाँ $BD = r$ और $CD = R$ है,इसलिए $BC = \sqrt{r^2 - R^2}$। शंकु की ऊँचाई $h = AB + BC = r + \sqrt{r^2 - R^2}$ है।
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi R^2 (r + \sqrt{r^2 - R^2}) = \frac{1}{3} \pi R^2 r + \frac{1}{3} \pi R^2 \sqrt{r^2 - R^2}$ है।
$V$ को अधिकतम करने के लिए,$R$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dV}{dR} = \frac{1}{3} \pi [2Rr + 2R\sqrt{r^2 - R^2} + R^2 \cdot \frac{-2R}{2\sqrt{r^2 - R^2}}] = \frac{1}{3} \pi [2Rr + \frac{2R(r^2 - R^2) - R^3}{\sqrt{r^2 - R^2}}] = \frac{1}{3} \pi [2Rr + \frac{2Rr^2 - 3R^3}{\sqrt{r^2 - R^2}}]$।
$\frac{dV}{dR} = 0$ रखने पर,$2Rr\sqrt{r^2 - R^2} = 3R^3 - 2Rr^2$ प्राप्त होता है। $R$ से भाग देने पर $(R \neq 0)$:
$2r\sqrt{r^2 - R^2} = 3R^2 - 2r^2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4r^2(r^2 - R^2) = (3R^2 - 2r^2)^2 = 9R^4 - 12R^2r^2 + 4r^4$।
$4r^4 - 4r^2R^2 = 9R^4 - 12R^2r^2 + 4r^4$।
$9R^4 - 8R^2r^2 = 0 \Rightarrow R^2(9R^2 - 8r^2) = 0$।
चूँकि $R \neq 0$,इसलिए $R^2 = \frac{8r^2}{9}$।
ऊँचाई के सूत्र में $R^2$ का मान रखने पर:
$h = r + \sqrt{r^2 - \frac{8r^2}{9}} = r + \sqrt{\frac{r^2}{9}} = r + \frac{r}{3} = \frac{4r}{3}$।
अतः,अधिकतम आयतन वाले शंकु की ऊँचाई $\frac{4r}{3}$ है।