यदि $a, b > 0$ है,तो $0 < x < a$ के लिए $y = \frac{b^2}{a-x} + \frac{a^2}{x}$ का न्यूनतम मान क्या है?

ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए जिनका योग $24$ हो और जिनका गुणनफल अधिकतम हो।

कथन-$I$: $e^{\pi} > \pi^e$.
कथन-$II$: फलन $f(x) = x^{1/x}$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर प्राप्त होता है।

फलन $f$ को $f(x) = x^p (1 - x)^q$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जहाँ $x \in R$ और $p, q$ धनात्मक पूर्णांक हैं। फलन का अधिकतम मान $x$ के किस मान के लिए प्राप्त होता है?

मान लीजिए $p(x)$ घात $4$ का एक बहुपद है जिसके चरम मान (extrema) $x=1$ और $x=2$ पर हैं और $\lim_{x \rightarrow 0} \left(1+\frac{p(x)}{x^2}\right) = 2$ है। तो $p(2)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right)$. मान लीजिए $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ एक फलन है जो $g(x) = 2^{\alpha x} + 2^{\alpha(1-x)}$ द्वारा परिभाषित है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ (सत्य) है/हैं?
$(A)$ $g(x)$ का न्यूनतम मान $2^{7/6}$ है
$(B)$ $g(x)$ का अधिकतम मान $1 + 2^{1/3}$ है
$(C)$ फलन $g(x)$ एक से अधिक बिंदुओं पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है
$(D)$ फलन $g(x)$ एक से अधिक बिंदुओं पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है