फलन f को f(x) = x^p (1 - x)^q द्वारा परिभाषित | vedclass

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Question

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^p (1 - x)^q$ है। क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं और इसे $0$ के बराबर

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$\frac{p}{p+q}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया फलन $f(x) = x^p (1 - x)^q$ है। क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए,हम प्रथम अवकलज $f'(x)$ निकालते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं। गुणन नियम का उपयोग करने पर: $f'(x) = p x^{p-1} (1 - x)^q + x^p \cdot q (1 - x)^{q-1} (-1)$. $f'(x) = x^{p-1} (1 - x)^{q-1} [p(1 - x) - qx]$. $f'(x) = x^{p-1} (1 - x)^{q-1} [p - px - qx]$. $f'(x) = x^{p-1} (1 - x)^{q-1} [p - (p + q)x]$. $f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$,$x = 1$,और $x = \frac{p}{p+q}$ प्राप्त होते हैं। चूंकि $p, q$ धनात्मक पूर्णांक हैं,अंतराल $(0, 1)$ में,$x = \frac{p}{p+q}$ पर $f'(x)$ का चिह्न धनात्मक से ऋणात्मक में बदलता है। अतः,फलन का अधिकतम मान $x = \frac{p}{p+q}$ पर प्राप्त होता है।

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$\left( x^2 + \frac{250}{x} \right)$ का न्यूनतम मान क्या है?

कथन-$I$: $e^{\pi} > \pi^e$.
कथन-$II$: फलन $f(x) = x^{1/x}$ का वैश्विक अधिकतम मान $x = e$ पर प्राप्त होता है।

वक्र $x^2 = 2y$ पर स्थित वह बिंदु जो $(0, 5)$ के सबसे निकट है,वह . . . . . . है।

$x$ के उन मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन $f(x) = \cos x + \cos (\sqrt{2} x)$ अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

अंतराल $[0, 7]$ में $f(x) = x^3 - 12x^2 + 45x$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

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