सिद्ध कीजिए कि किसी ठोस की आयताकार शीट का क्षेत्रीय प्रसार गुणांक,$(\Delta A / A) / \Delta T,$ उसके रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_{l}$ का दोगुना होता है।

(N/A) मान लीजिए कि एक ठोस पदार्थ की आयताकार शीट की लंबाई $a$ और चौड़ाई $b$ है। जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है,तो लंबाई $a$ में $\Delta a = \alpha_{l} a \Delta T$ की वृद्धि होती है और चौड़ाई $b$ में $\Delta b = \alpha_{l} b \Delta T$ की वृद्धि होती है।
क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A$ आरेख में दिखाए गए तीन छायांकित क्षेत्रों के योग के बराबर है:
$\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2} + \Delta A_{3}$
$\Delta A = a \Delta b + b \Delta a + (\Delta a)(\Delta b)$
$\Delta a$ और $\Delta b$ के व्यंजक रखने पर:
$\Delta A = a(\alpha_{l} b \Delta T) + b(\alpha_{l} a \Delta T) + (\alpha_{l} a \Delta T)(\alpha_{l} b \Delta T)$
$\Delta A = 2 \alpha_{l} ab \Delta T + \alpha_{l}^{2} ab (\Delta T)^{2}$
चूंकि $A = ab$,हमारे पास है:
$\Delta A = 2 \alpha_{l} A \Delta T + \alpha_{l}^{2} A (\Delta T)^{2}$
$\Delta A = \alpha_{l} A \Delta T (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$A \Delta T$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} = \alpha_{l} (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
चूंकि $\alpha_{l}$ बहुत छोटा है (आमतौर पर $\approx 10^{-5} \text{ K}^{-1}$),पद $\alpha_{l} \Delta T$ को $2$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है। इसलिए:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} \approx 2 \alpha_{l}$