સાબિત કરો કે ઘન પદાર્થની લંબચોરસ શીટનો ક્ષેત્રફળ પ્રસરણાંક,$(\Delta A / A) / \Delta T,$ તેના રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha_{l}$ કરતા બમણો હોય છે.

(N/A) ધારો કે એક ઘન પદાર્થની લંબચોરસ શીટની લંબાઈ $a$ અને પહોળાઈ $b$ છે. જ્યારે તાપમાનમાં $\Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે લંબાઈ $a$ માં $\Delta a = \alpha_{l} a \Delta T$ જેટલો અને પહોળાઈ $b$ માં $\Delta b = \alpha_{l} b \Delta T$ જેટલો વધારો થાય છે.
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A$ એ આકૃતિમાં દર્શાવેલ ત્રણ છાયાંકિત ભાગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\Delta A = \Delta A_{1} + \Delta A_{2} + \Delta A_{3}$
$\Delta A = a \Delta b + b \Delta a + (\Delta a)(\Delta b)$
$\Delta a$ અને $\Delta b$ ના મૂલ્યો મુકતા:
$\Delta A = a(\alpha_{l} b \Delta T) + b(\alpha_{l} a \Delta T) + (\alpha_{l} a \Delta T)(\alpha_{l} b \Delta T)$
$\Delta A = 2 \alpha_{l} ab \Delta T + \alpha_{l}^{2} ab (\Delta T)^{2}$
અહીં $A = ab$ હોવાથી:
$\Delta A = 2 \alpha_{l} A \Delta T + \alpha_{l}^{2} A (\Delta T)^{2}$
$\Delta A = \alpha_{l} A \Delta T (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$A \Delta T$ વડે ભાગતા:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} = \alpha_{l} (2 + \alpha_{l} \Delta T)$
$\alpha_{l}$ ખૂબ જ નાનું હોવાથી (સામાન્ય રીતે $\approx 10^{-5} \text{ K}^{-1}$),પદ $\alpha_{l} \Delta T$ એ $2$ ની સરખામણીમાં અવગણી શકાય તેવું છે. તેથી:
$\frac{\Delta A}{A \Delta T} \approx 2 \alpha_{l}$