સાબિત કરો કે $f(x)=\cos \left(x^{2}\right)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એક સતત વિધેય છે.

(N/A) આપેલ વિધેય $f(x)=\cos \left(x^{2}\right)$ છે.
આ વિધેય $f$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને $f$ ને બે વિધેયોના સંયોજન તરીકે લખી શકાય છે,$f=g \circ h$,જ્યાં $g(x)=\cos x$ અને $h(x)=x^{2}$.
$[\because (g \circ h)(x)=g(h(x))=g(x^{2})=\cos(x^{2})=f(x)]$.
પ્રથમ એ સાબિત કરવું પડશે કે $g(x)=\cos x$ અને $h(x)=x^{2}$ સતત વિધેયો છે.
તે સ્પષ્ટ છે કે $g$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $c$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. તો $g(c)=\cos c$.
$x=c+h$ મૂકો. જો $x \to c$,તો $h \to 0$.
$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} \cos x = \lim_{h \to 0} \cos(c+h) = \lim_{h \to 0} [\cos c \cos h - \sin c \sin h]$.
$= \cos c \lim_{h \to 0} \cos h - \sin c \lim_{h \to 0} \sin h = \cos c \times 1 - \sin c \times 0 = \cos c$.
$\therefore \lim_{x \to c} g(x) = g(c)$. તેથી,$g(x)=\cos x$ એક સતત વિધેય છે.
હવે,$h(x)=x^{2}$. સ્પષ્ટપણે,$h$ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા માટે વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $k$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે,તો $h(k)=k^{2}$.
$\lim_{x \to k} h(x) = \lim_{x \to k} x^{2} = k^{2} = h(k)$. તેથી,$h$ એક સતત વિધેય છે.
તે જાણીતું છે કે જો $g$ અને $h$ સતત વિધેયો હોય,તો તેમનું સંયોજન $(g \circ h)$ પણ સતત હોય છે.
કારણ કે $g(x)=\cos x$ અને $h(x)=x^{2}$ સતત છે,તેથી તેમનું સંયોજન $f(x)=(g \circ h)(x)=\cos(x^{2})$ એક સતત વિધેય છે.