सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन वाले बेलन की ऊँचाई $\frac{2 R}{\sqrt{3}}$ है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।

(A) माना $R$ त्रिज्या वाले गोले के अंतर्गत बेलन की त्रिज्या $r$ और ऊँचाई $h$ है।
गोले की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध $R^2 = r^2 + (h/2)^2$ है,जिसका अर्थ है $r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4}$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h = \pi (R^2 - \frac{h^2}{4}) h = \pi R^2 h - \frac{\pi h^3}{4}$ द्वारा दिया जाता है।
$h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dh} = \pi R^2 - \frac{3\pi h^2}{4}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $\pi R^2 = \frac{3\pi h^2}{4}$ प्राप्त होता है,जिससे $h^2 = \frac{4R^2}{3}$ मिलता है,अतः $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$।
उच्चतम मान की जाँच करने के लिए,$\frac{d^2V}{dh^2} = -\frac{6\pi h}{4} = -\frac{3\pi h}{2}$। चूँकि $h > 0$,इसलिए $\frac{d^2V}{dh^2} < 0$ है,जो पुष्टि करता है कि $h = \frac{2R}{\sqrt{3}}$ पर आयतन अधिकतम है।
अधिकतम आयतन $V = \pi (R^2 - \frac{1}{4} \cdot \frac{4R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \pi (R^2 - \frac{R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \pi (\frac{2R^2}{3}) \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{4\pi R^3}{3\sqrt{3}}$ है।