દર્શાવો કે રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ અને $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-0}{1}$ એકબીજાને છેદે છે. તેમનું છેદબિંદુ પણ શોધો.

(A) ધારો કે રેખાઓના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} = \lambda$
$L_2: \frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-0}{1} = \mu$
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(5\mu+4, 2\mu+1, \mu)$ છે.
જો રેખાઓ છેદતી હોય,તો એવા $\lambda$ અને $\mu$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી:
$2\lambda+1 = 5\mu+4 \Rightarrow 2\lambda - 5\mu = 3$ $(1)$
$3\lambda+2 = 2\mu+1 \Rightarrow 3\lambda - 2\mu = -1$ $(2)$
$4\lambda+3 = \mu$ $(3)$
$(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$2\lambda - 5(4\lambda+3) = 3$
$2\lambda - 20\lambda - 15 = 3$
$-18\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ નો ઉપયોગ $(3)$ માં કરતા:
$\mu = 4(-1)+3 = -1$
આ કિંમતોને $(2)$ માં તપાસતા:
$3(-1) - 2(-1) = -3 + 2 = -1$. આ સમીકરણ $(2)$ નું સમાધાન કરે છે.
આમ,રેખાઓ છેદે છે.
$\lambda = -1$ નો ઉપયોગ કરીને છેદબિંદુ:
$x = 2(-1)+1 = -1$
$y = 3(-1)+2 = -1$
$z = 4(-1)+3 = -1$
આમ,છેદબિંદુ $(-1, -1, -1)$ છે.