दर्शाइए कि रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-0}{1}$ प्रतिच्छेद करती हैं। उनका प्रतिच्छेदन बिंदु भी ज्ञात कीजिए।

(A) माना रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} = \lambda$
$L_2: \frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-0}{1} = \mu$
$L_1$ पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda+2, 4\lambda+3)$ है और $L_2$ पर कोई भी बिंदु $(5\mu+4, 2\mu+1, \mu)$ है।
यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,तो ऐसे $\lambda$ और $\mu$ मौजूद हैं कि:
$2\lambda+1 = 5\mu+4 \Rightarrow 2\lambda - 5\mu = 3$ $(1)$
$3\lambda+2 = 2\mu+1 \Rightarrow 3\lambda - 2\mu = -1$ $(2)$
$4\lambda+3 = \mu$ $(3)$
$(3)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\lambda - 5(4\lambda+3) = 3$
$2\lambda - 20\lambda - 15 = 3$
$-18\lambda = 18 \Rightarrow \lambda = -1$
$\lambda = -1$ का उपयोग $(3)$ में करने पर:
$\mu = 4(-1)+3 = -1$
इन मानों की जाँच $(2)$ में करने पर:
$3(-1) - 2(-1) = -3 + 2 = -1$. यह समीकरण $(2)$ को संतुष्ट करता है।
अतः,रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
$\lambda = -1$ का उपयोग करके प्रतिच्छेदन बिंदु:
$x = 2(-1)+1 = -1$
$y = 3(-1)+2 = -1$
$z = 4(-1)+3 = -1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1, -1)$ है।