सिद्ध कीजिए कि एक गतिमान बिंदु का पथ,जिसकी दो रेखाओं $3x - 2y = 5$ और $3x + 2y = 5$ से दूरियाँ समान हैं,एक सीधी रेखा है।

(N/A) दी गई रेखाएँ $3x - 2y - 5 = 0$ $(1)$ और $3x + 2y - 5 = 0$ $(2)$ हैं।
मान लीजिए $(h, k)$ कोई ऐसा बिंदु है जिसकी रेखाओं $(1)$ और $(2)$ से दूरियाँ समान हैं।
रेखा $(1)$ से $(h, k)$ की दूरी $\frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ है।
रेखा $(2)$ से $(h, k)$ की दूरी $\frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ है।
चूँकि दूरियाँ समान हैं,हमारे पास $\frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ है,जिसका अर्थ है $|3h - 2k - 5| = |3h + 2k - 5|$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $3h - 2k - 5 = 3h + 2k - 5 \implies -2k = 2k \implies 4k = 0 \implies k = 0$।
स्थिति $2$: $3h - 2k - 5 = -(3h + 2k - 5) \implies 3h - 2k - 5 = -3h - 2k + 5 \implies 6h = 10 \implies h = \frac{5}{3}$।
अतः,बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ $y = 0$ या $x = \frac{5}{3}$ है,जो दोनों सीधी रेखाओं को दर्शाते हैं।