दर्शाइए कि बिंदु $A, B$ और $C$ जिनके स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$ हैं,एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।

(N/A) बिंदुओं $A, B$ और $C$ के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
$\vec{a}=3 \hat{i}-4 \hat{j}-4 \hat{k}, \vec{b}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}, \vec{c}=\hat{i}-3 \hat{j}-5 \hat{k}$
सबसे पहले,हम त्रिभुज की भुजाओं को निरूपित करने वाले सदिशों की गणना करते हैं:
$\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (2-3)\hat{i} + (-1+4)\hat{j} + (1+4)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \vec{c} - \vec{b} = (1-2)\hat{i} + (-3+1)\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\overrightarrow{CA} = \vec{a} - \vec{c} = (3-1)\hat{i} + (-4+3)\hat{j} + (-4+5)\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
अब,हम इन सदिशों के परिमाणों के वर्ग ज्ञात करते हैं:
$|\overrightarrow{AB}|^2 = (-1)^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$
$|\overrightarrow{BC}|^2 = (-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2 = 1 + 4 + 36 = 41$
$|\overrightarrow{CA}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$
चूंकि $|\overrightarrow{AB}|^2 + |\overrightarrow{CA}|^2 = 35 + 6 = 41 = |\overrightarrow{BC}|^2$,दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है।
अतः,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।