સાબિત કરો કે એક $AP$ જેનું પ્રથમ પદ $a,$ બીજું પદ $b$ અને અંતિમ પદ $c$ હોય,તેનો સરવાળો $\frac{(a+c)(b+c-2a)}{2(b-a)}$ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે $AP$ એ $a, b, \dots, c$ છે.
અહીં,પ્રથમ પદ $= a,$ અને સામાન્ય તફાવત $d = b - a$ છે.
અંતિમ પદ $l = a_n = c$ છે.
$n$-મું પદ શોધવાનું સૂત્ર: $a_n = a + (n - 1)d.$
કિંમતો મૂકતા: $c = a + (n - 1)(b - a).$
$(n - 1) = \frac{c - a}{b - a}.$
$n = \frac{c - a}{b - a} + 1 = \frac{c - a + b - a}{b - a} = \frac{b + c - 2a}{b - a} \dots (i).$
$AP$ ના સરવાળાનું સૂત્ર $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ છે.
$(i)$ માંથી $n$ અને $l = c$ ની કિંમત મૂકતા:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{b + c - 2a}{b - a} \right) (a + c).$
આમ,$S_n = \frac{(a + c)(b + c - 2a)}{2(b - a)}.$ આમ સાબિત થાય છે.