सिद्ध कीजिए कि एक $AP$ जिसका प्रथम पद $a,$ दूसरा पद $b$ और अंतिम पद $c$ है,का योग $\frac{(a+c)(b+c-2a)}{2(b-a)}$ के बराबर है।

(A) दिया गया है कि $AP$ का अनुक्रम $a, b, \dots, c$ है।
यहाँ,प्रथम पद $= a,$ और सार्व अंतर $d = b - a$ है।
अंतिम पद $l = a_n = c$ है।
$n$-वें पद का सूत्र: $a_n = a + (n - 1)d.$
मान रखने पर: $c = a + (n - 1)(b - a).$
$(n - 1) = \frac{c - a}{b - a}.$
$n = \frac{c - a}{b - a} + 1 = \frac{c - a + b - a}{b - a} = \frac{b + c - 2a}{b - a} \dots (i).$
$AP$ के योग का सूत्र $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ है।
$(i)$ से $n$ और $l = c$ का मान रखने पर:
$S_n = \frac{1}{2} \left( \frac{b + c - 2a}{b - a} \right) (a + c).$
अतः,$S_n = \frac{(a + c)(b + c - 2a)}{2(b - a)}.$ इति सिद्धम्।