दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात $4:9$ है। इन त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या है?

$\Delta ABC$ की भुजा $BC$ पर $A$ से डाला गया लंब $BC$ को $D$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि $DB = 3CD$ है (आकृति देखिए)। सिद्ध कीजिए कि $2AB^{2} = 2AC^{2} + BC^{2}$।

कोष्ठक में दिए गए सही शब्दों का उपयोग करके रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)

आकृति में,यदि $AD \perp BC$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $AB^2 + CD^2 = BD^2 + AC^2$ है।

आकृति में,$D$ त्रिभुज $\Delta ABC$ के कर्ण $AC$ पर एक बिंदु है,इस प्रकार कि $BD \perp AC,$ $DM \perp BC,$ और $DN \perp AB$ है। सिद्ध कीजिए कि $DM^{2} = DN \cdot MC.$

असमरूप आकृतियों के जोड़ों के दो अलग-अलग उदाहरण दीजिए।