$\Delta ABC$ की भुजा $BC$ पर $A$ से डाला गया लंब $BC$ को $D$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि $DB = 3CD$ है (आकृति देखिए)। सिद्ध कीजिए कि $2AB^{2} = 2AC^{2} + BC^{2}$।

(N/A) $\triangle ACD$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2}$
$AD^{2} = AC^{2} - DC^{2}$ $...(1)$
$\triangle ABD$ के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AB^{2} = AD^{2} + DB^{2}$
$AD^{2} = AB^{2} - DB^{2}$ $...(2)$
समीकरण $(1)$ और समीकरण $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} - DC^{2} = AB^{2} - DB^{2}$ $...(3)$
यह दिया गया है कि $DB = 3CD$ है। चूँकि $BC = DB + CD$,इसलिए $BC = 3CD + CD = 4CD$ है।
$\therefore CD = \frac{BC}{4}$ और $DB = 3CD = \frac{3BC}{4}$ है।
इन मानों को समीकरण $(3)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AC^{2} - \left(\frac{BC}{4}\right)^{2} = AB^{2} - \left(\frac{3BC}{4}\right)^{2}$
$AC^{2} - \frac{BC^{2}}{16} = AB^{2} - \frac{9BC^{2}}{16}$
$16AC^{2} - BC^{2} = 16AB^{2} - 9BC^{2}$
$16AB^{2} - 16AC^{2} = 8BC^{2}$
$8$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2AB^{2} = 2AC^{2} + BC^{2}$