$\Delta ABC$ ની બાજુ $BC$ પર $A$ માંથી દોરેલો વેધ $BC$ ને $D$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $DB = 3CD$ થાય (આકૃતિ જુઓ). સાબિત કરો કે $2AB^{2} = 2AC^{2} + BC^{2}$.

(N/A) $\triangle ACD$ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$AC^{2} = AD^{2} + DC^{2}$
$AD^{2} = AC^{2} - DC^{2}$ $...(1)$
$\triangle ABD$ માટે પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$AB^{2} = AD^{2} + DB^{2}$
$AD^{2} = AB^{2} - DB^{2}$ $...(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને સમીકરણ $(2)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$AC^{2} - DC^{2} = AB^{2} - DB^{2}$ $...(3)$
આપેલ છે કે $DB = 3CD$. કારણ કે $BC = DB + CD$,તેથી $BC = 3CD + CD = 4CD$.
$\therefore CD = \frac{BC}{4}$ અને $DB = 3CD = \frac{3BC}{4}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(3)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$AC^{2} - \left(\frac{BC}{4}\right)^{2} = AB^{2} - \left(\frac{3BC}{4}\right)^{2}$
$AC^{2} - \frac{BC^{2}}{16} = AB^{2} - \frac{9BC^{2}}{16}$
$16AC^{2} - BC^{2} = 16AB^{2} - 9BC^{2}$
$16AB^{2} - 16AC^{2} = 8BC^{2}$
$8$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$2AB^{2} = 2AC^{2} + BC^{2}$