अवकल समीकरण (x + y - 1)dx + (2x + 2y - 3)dy = | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $(x + y - 1)dx + (2x + 2y - 3)dy = 0$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = - \frac{x + y - 1}{2(x + y) - 3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $

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$2y + x + \log (x + y - 2) = c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समीकरण $(x + y - 1)dx + (2x + 2y - 3)dy = 0$ है,जिसे $\frac{dy}{dx} = - \frac{x + y - 1}{2(x + y) - 3}$ के रूप में लिखा जा सकता है।माना $x + y = t$ है। तब $1 + \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx} - 1$ होगा।इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{dt}{dx} - 1 = - \frac{t - 1}{2t - 3}$।$\frac{dt}{dx} = 1 - \frac{t - 1}{2t - 3} = \frac{2t - 3 - t + 1}{2t - 3} = \frac{t - 2}{2t - 3}$।चरों को पृथक करने पर: $\frac{2t - 3}{t - 2} dt = dx$।$\frac{2(t - 2) + 1}{t - 2} dt = dx \implies (2 + \frac{1}{t - 2}) dt = dx$।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int (2 + \frac{1}{t - 2}) dt = \int dx$।$2t + \log |t - 2| = x + c$।$t = x + y$ रखने पर: $2(x + y) + \log |x + y - 2| = x + c$।$2x + 2y + \log |x + y - 2| = x + c \implies x + 2y + \log |x + y - 2| = c$।

अवकल समीकरण $(x + y - 1)dx + (2x + 2y - 3)dy = 0$ का हल ज्ञात कीजिए।

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$\cos y \frac{dy}{dx} = e^{x+\sin y} + x^2 e^{\sin y}$ का हल $f(x) + e^{-\sin y} = C$ ($C$ एक स्वैच्छिक वास्तविक स्थिरांक है) है, जहाँ $f(x)$ बराबर है:

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \cos(x + y)$ का हल है:

यदि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $8 \sqrt{x}(\sqrt{9+\sqrt{x}}) dy = (\sqrt{4+\sqrt{9+\sqrt{x}}})^{-1} dx$ को $x>0$ के लिए संतुष्ट करता है और $y(0)=\sqrt{7}$ है,तो $y(256)$ ज्ञात कीजिए।

$x = y = 0$ पर $\log \left(\frac{dy}{dx}\right) = 3x + 4y$ का विशिष्ट हल है

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