વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx} = frac{1}{xy(x^2 sin | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$.તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = xy(x^2 \sin y^2 + 1) = x^3 y \sin y^2 + xy$

Vedclass · Accepted Answer

$e^{y^2} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\cos y^2}{2} + \frac{\sin y^2}{2} \right) = C$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$.તેને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{dx}{dy} = xy(x^2 \sin y^2 + 1) = x^3 y \sin y^2 + xy$.$x^3$ વડે ભાગતા: $x^{-3} \frac{dx}{dy} - yx^{-1} = y \sin y^2$.ધારો કે $u = x^{-2}$,તો $\frac{du}{dy} = -2x^{-3} \frac{dx}{dy}$,તેથી $x^{-3} \frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2} \frac{du}{dy}$.સમીકરણમાં મૂકતા: $-\frac{1}{2} \frac{du}{dy} - yu = y \sin y^2 \Rightarrow \frac{du}{dy} + 2yu = -2y \sin y^2$.આ $u$ માં સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જેનો સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int 2y dy} = e^{y^2}$ છે.ઉકેલ $u e^{y^2} = \int (-2y \sin y^2) e^{y^2} dy$ છે.ધારો કે $t = y^2$,તો $dt = 2y dy$. સંકલન $\int -\sin t e^t dt$ બને છે.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int e^t \sin t dt = \frac{e^t}{2} (\sin t - \cos t)$.તેથી,$u e^{y^2} = -\frac{e^{y^2}}{2} (\sin y^2 - \cos y^2) + C$.$u = x^{-2}$ મૂકતા: $\frac{e^{y^2}}{x^2} = \frac{e^{y^2}}{2} (\cos y^2 - \sin y^2) + C$.ગોઠવતા: $e^{y^2} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{\cos y^2}{2} + \frac{\sin y^2}{2} \right) = C$.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{xy(x^2 \sin y^2 + 1)}$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $C$ એ સંકલન અચળાંક છે.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\sin 2x \left( \frac{dy}{dx} - \sqrt{\tan x} \right) - y = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (\tan x)y = \sin x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{3},$ નો ઉકેલ હોય અને $y(0) = 0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\tan x$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (integrating factor) હોય, તો $P$ શું હોઈ શકે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module