अवकल समीकरण x = 1 + xyfrac{dy}{dx} + frac{(xy | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण $x = 1 + xy\frac{dy}{dx} + \frac{(xy)^2}{2!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \dots$ है। यह घातांकीय फलन $e^u$ का टेलर श्रेणी विस्तार

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$y = \pm \sqrt{(\log_e x)^2 + 2C}$

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(C) दिया गया समीकरण $x = 1 + xy\frac{dy}{dx} + \frac{(xy)^2}{2!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \dots$ है। यह घातांकीय फलन $e^u$ का टेलर श्रेणी विस्तार है,जहाँ $u = xy\frac{dy}{dx}$ है। अतः,समीकरण को $x = e^{xy\frac{dy}{dx}}$ के रूप में लिखा जा सकता है। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\log_e x = xy\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है। चरों को पृथक करने पर,$y \, dy = \frac{\log_e x}{x} \, dx$ मिलता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \int \frac{\log_e x}{x} \, dx$। माना $t = \log_e x$,तब $dt = \frac{1}{x} \, dx$। अतः,$\frac{y^2}{2} = \frac{(\log_e x)^2}{2} + C$। $2$ से गुणा करने पर,$y^2 = (\log_e x)^2 + 2C$ प्राप्त होता है। अतः,$y = \pm \sqrt{(\log_e x)^2 + 2C}$।

अवकल समीकरण $x = 1 + xy\frac{dy}{dx} + \frac{(xy)^2}{2!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 + \frac{(xy)^3}{3!}\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 + \dots$ का हल है

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प्रतिस्थापन $\frac{dy}{dx}=z$ अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=0$ को एक ऐसे अवकल समीकरण में बदल देता है जिसका हल $z=$ है।

मान लीजिए $\alpha |x| = |y| e^{xy-\beta}$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$,अवकल समीकरण $x dy - y dx + xy(x dy + y dx) = 0$ का हल है,जहाँ $y(1) = 2$ है। तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sin x + 2x$ का हल है:

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