प्रतिस्थापन frac{dy}{dx}=z अवकल समीकरण frac{d | vedclass

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Question

(C) दिए गए प्रतिस्थापन $\frac{dy}{dx}=z$ का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dz}{dx}$ प्राप्त होता है।इन मानों को

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$Ae^{x}$

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(C) दिए गए प्रतिस्थापन $\frac{dy}{dx}=z$ का उपयोग करते हुए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dz}{dx}$ प्राप्त होता है।इन मानों को दिए गए अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=0$ में रखने पर,हमें $\frac{dz}{dx}-z=0$ प्राप्त होता है।यह प्रथम कोटि का पृथक्करणीय अवकल समीकरण है: $\frac{dz}{dx}=z$।चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dz}{z}=dx$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dz}{z} = \int dx$,जिसका परिणाम $\log_{e}|z|=x+C_1$ है।दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $|z|=e^{x+C_1} = e^{C_1} \cdot e^{x}$ प्राप्त होता है।माना $A = \pm e^{C_1}$,अतः हमें हल $z=Ae^{x}$ प्राप्त होता है।

प्रतिस्थापन $\frac{dy}{dx}=z$ अवकल समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2}-\frac{dy}{dx}=0$ को एक ऐसे अवकल समीकरण में बदल देता है जिसका हल $z=$ है।

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$\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(\sin^2 x + \sin 2x)}{y(2\log y + 1)}$ का हल ज्ञात कीजिए।

यदि $(2+\sin x) \frac{dy}{dx}+(y+1) \cos x=0$ और $y(0)=1$ है,तो $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{dy}{dx} = e^{-2y}$ और जब $x = 5$ हो तब $y = 0$ है,तो $y = 3$ के लिए $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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