कथन-1: श्रेणी 1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+dot | vedclass

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Question

(D) कथन-$2$: योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = (1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$. यह सत्य है।क

Vedclass · Accepted Answer

कथन-$1$ सत्य है,कथन-$2$ सत्य है; कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

Vedclass · Answer

(D) कथन-$2$: योग एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = (1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + \dots + (n^3 - (n-1)^3) = n^3$. यह सत्य है।कथन-$1$: श्रेणी का $k$-वां पद $T_k = (k-1)^2 + (k-1)k + k^2 = 3k^2 - 3k + 1$ है।हम जानते हैं कि $k^3 - (k-1)^3 = 3k^2 - 3k + 1$. अतः,$T_k = k^3 - (k-1)^3$.श्रेणी $\sum_{k=1}^{20} T_k = \sum_{k=1}^{20} (k^3 - (k-1)^3) = 20^3 = 8000$ है।चूंकि अंतिम पद $361+380+400 = 19^2 + 19 	imes 20 + 20^2$ है,यह $k=20$ के अनुरूप है।दोनों कथन सत्य हैं और कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

कथन-$1$: श्रेणी $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\dots+(361+380+400)$ का योग $8000$ है।
कथन-$2$: $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - (k-1)^3) = n^3$,किसी भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए।

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