मान लीजिए $a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} + \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}$,जहाँ $j = 2, 3, 4, 5, 6, 7$ के लिए $0 \leq a_j < j$ है। $a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7$ का योग है:

$3$ लड़कों $B_i, i = 1, 2, 3$ और $6$ लड़कियों $G_i, i = 1, 2, . . . , 6$ को एक पंक्ति में बैठाना है। उन्हें कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है ताकि $B_1, B_2$ अलग-अलग रहें और $G_1, G_2$ भी अलग-अलग रहें?

एक पुरुष $X$ के $7$ मित्र हैं,जिनमें से $4$ महिलाएँ और $3$ पुरुष हैं। उसकी पत्नी $Y$ के भी $7$ मित्र हैं,जिनमें से $3$ महिलाएँ और $4$ पुरुष हैं। मान लीजिए कि $X$ और $Y$ का कोई भी मित्र उभयनिष्ठ (common) नहीं है। तो उन तरीकों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए जिनसे $X$ और $Y$ मिलकर $3$ महिलाओं और $3$ पुरुषों को पार्टी में आमंत्रित कर सकते हैं,ताकि $X$ और $Y$ प्रत्येक के $3$ मित्र इस पार्टी में हों:

$4$ बक्से पर विचार करें,जहाँ प्रत्येक बक्से में $3$ लाल गेंदें और $2$ नीली गेंदें हैं। मान लें कि सभी $20$ गेंदें अलग-अलग हैं। इन $4$ बक्सों में से $10$ गेंदों को कितने अलग-अलग तरीकों से चुना जा सकता है ताकि प्रत्येक बक्से से कम से कम एक लाल गेंद और एक नीली गेंद चुनी जाए?

केवल $1, 2$ और $3$ अंकों का उपयोग करके ऐसी कुल कितनी $7$-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं जिनका योग $10$ हो?

यदि $^nC_r = ^nC_{r-1}$ और $^nP_r = ^nP_{r+1}$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए।