मान लीजिए कि एक त्रिभुज के शीर्ष (alpha, beta | vedclass

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Question

(C) दी गई रेखाओं का समीकरण $y^2-8xy-9x^2=0$ है। गुणनखंड करने पर,$(y-9x)(y+x)=0$ प्राप्त होता है। अतः,दो रेखाएँ $L_1: y=9x$ और $L_2: y=-x$ हैं। शीर्ष $

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$\frac{1}{123}(\alpha-32\beta, \beta+32\alpha)$

Vedclass · Answer

(C) दी गई रेखाओं का समीकरण $y^2-8xy-9x^2=0$ है। गुणनखंड करने पर,$(y-9x)(y+x)=0$ प्राप्त होता है। अतः,दो रेखाएँ $L_1: y=9x$ और $L_2: y=-x$ हैं। शीर्ष $V(\alpha, \beta)$ मानिए। $V$ से गुजरने वाली भुजाएँ $VA$ और $VB$ हैं। रेखा $L_1: y=9x$,$VA$ का लंब समद्विभाजक है। $L_1$ की ढाल $9$ है,इसलिए $VA$ की ढाल $-1/9$ है। $VA$ का समीकरण $y-\beta = -\frac{1}{9}(x-\alpha) \Rightarrow x+9y = \alpha+9\beta$ है। $VA$ और $L_1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $VA$ का मध्य बिंदु $M$ है। $y=9x$ और $x+9y=\alpha+9\beta$ को हल करने पर,$x+81x = \alpha+9\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha+9\beta}{82}$ और $y = \frac{9\alpha+81\beta}{82}$ प्राप्त होता है। चूँकि $M$,$VA$ का मध्य बिंदु है,यदि $A$ का निर्देशांक $(x_A, y_A)$ है,तो $\frac{x_A+\alpha}{2} = \frac{\alpha+9\beta}{82} \Rightarrow x_A = \frac{-40\alpha+9\beta}{41}$ और $\frac{y_A+\beta}{2} = \frac{9\alpha+81\beta}{82} \Rightarrow y_A = \frac{9\alpha+40\beta}{41}$ प्राप्त होता है। इसी प्रकार,$L_2: y=-x$,$VB$ का लंब समद्विभाजक है। $L_2$ की ढाल $-1$ है,इसलिए $VB$ की ढाल $1$ है। $VB$ का समीकरण $y-\beta = 1(x-\alpha) \Rightarrow x-y = \alpha-\beta$ है। $VB$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $VB$ का मध्य बिंदु $N$ है। $y=-x$ और $x-y=\alpha-\beta$ को हल करने पर,$x+x = \alpha-\beta \Rightarrow x = \frac{\alpha-\beta}{2}$ और $y = \frac{\beta-\alpha}{2}$ प्राप्त होता है। चूँकि $N$,$VB$ का मध्य बिंदु है,यदि $B$ का निर्देशांक $(x_B, y_B)$ है,तो $\frac{x_B+\alpha}{2} = \frac{\alpha-\beta}{2} \Rightarrow x_B = -\beta$ और $\frac{y_B+\beta}{2} = \frac{\beta-\alpha}{2} \Rightarrow y_B = -\alpha$ प्राप्त होता है। $	riangle VAB$ का केंद्रक $G$,$(\frac{\alpha+x_A+x_B}{3}, \frac{\beta+y_A+y_B}{3})$ है। गणना करने पर,$G = \frac{1}{123}(\alpha-32\beta, \beta+32\alpha)$ प्राप्त होता है। अतः विकल्प $C$ सही है।

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