बिंदु P(3,4) से दीर्घवृत्त frac{x^2}{9}+frac{ | vedclass

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Question

(B) $1.$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए बिंदु $P(3,4)$ की स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\frac{3x}{9}

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$(D, C, A)$

Vedclass · Answer

(B) $1.$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए बिंदु $P(3,4)$ की स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है,अर्थात $\frac{3x}{9}+\frac{4y}{4}=1 \Rightarrow \frac{x}{3}+y=1 \Rightarrow x+3y-3=0$.स्पर्श बिंदुओं $A$ और $B$ को खोजने के लिए,हम समीकरणों को हल करते हैं: $x+3y=3$ और $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$। $x=3-3y$ को दीर्घवृत्त के समीकरण में रखने पर: $\frac{(3-3y)^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow (1-y)^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow 1-2y+y^2+\frac{y^2}{4}=1 \Rightarrow \frac{5y^2}{4}-2y=0$। अतः,$y=0$ या $y=\frac{8}{5}$।यदि $y=0$,तो $x=3$। यदि $y=\frac{8}{5}$,तो $x=3-3(\frac{8}{5})=3-\frac{24}{5}=-\frac{9}{5}$। इसलिए,बिंदु $(3,0)$ और $(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$ हैं। सही विकल्प $(D)$ है।$2.$ $	riangle PAB$ का लंबकेंद्र $H$ शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। रेखा $AB$ का समीकरण $x+3y-3=0$ है। $P(3,4)$ से $AB$ पर शीर्षलंब की ढाल $3$ है और यह $(3,4)$ से गुजरती है,इसलिए $y-4=3(x-3) \Rightarrow y=3x-5$। $A(3,0)$ से $PB$ (जहाँ $B=(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5})$) पर शीर्षलंब की ढाल $m_{PB} = \frac{8/5-4}{-9/5-3} = \frac{-12/5}{-24/5} = \frac{1}{2}$ है। $A$ से शीर्षलंब $PB$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $-2$ है। समीकरण: $y-0=-2(x-3) \Rightarrow y=-2x+6$। $3x-5=-2x+6 \Rightarrow 5x=11 \Rightarrow x=\frac{11}{5}$ हल करने पर। फिर $y=3(\frac{11}{5})-5 = \frac{33-25}{5} = \frac{8}{5}$। अतः,$H=(\frac{11}{5}, \frac{8}{5})$। सही विकल्प $(C)$ है।$3.$ बिंदु $P$ और रेखा $AB$ से समान दूरी पर स्थित बिंदु का बिंदुपथ एक परवलय है जिसकी नाभि $P$ और नियता $AB$ है। दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए: $(x-3)^2+(y-4)^2 = \frac{(x+3y-3)^2}{1^2+3^2}$। इसका विस्तार करने पर: $10(x^2-6x+9+y^2-8y+16) = x^2+9y^2+9+6xy-6x-18y \Rightarrow 10x^2+10y^2-60x-80y+250 = x^2+9y^2+6xy-6x-18y+9 \Rightarrow 9x^2+y^2-6xy-54x-62y+241=0$। सही विकल्प $(A)$ है।

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