अंतराल $[-2, 2]$ में वक्र $y = x^3$ के बिंदुओं का भुज (abscissa),जहाँ स्पर्श रेखा की ढाल माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) के अनुसार अंतराल $[-2, 2]$ के लिए छेदक रेखा की ढाल के बराबर है,ज्ञात कीजिए:

यदि $f(x)$ एक दो बार अवकलनीय बहुपद फलन है,जैसे कि $f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9$,तो:

फलन $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{\pi}{x} & \text{के लिए } x > 0 \\ 0 & \text{के लिए } x = 0 \end{cases}$ पर विचार करें। तो $(0, 1)$ में उन बिंदुओं की संख्या क्या है जहाँ अवकलज $f'(x)$ शून्य हो जाता है?

यदि फलन $f(x) = 2x^2 + 3x + 5$ संवृत अंतराल $[1, a]$ पर $x = 3$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय $(LMVT)$ को संतुष्ट करता है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए:

द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ पर विचार करें जहाँ $2a + 3b + 6c = 0$ है और $g(x) = a \frac{x^3}{3} + b \frac{x^2}{2} + cx$ लें।
कथन-$1$: द्विघात समीकरण का $(0, 1)$ अंतराल में कम से कम एक मूल है।
कथन-$2$: $[0, 1]$ अंतराल में फलन $g(x)$ के लिए रोले का प्रमेय लागू किया जा सकता है।

$m > 1, n > 1$ के लिए,वह मान $c$ जिसके लिए फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है,है