$xy$-समतल और बिंदु $(1, 2, 4)$ से गुजरने वाले तथा $3, 2, -1$ और $1, -2, -2$ दिक्-अनुपात वाले सदिशों के समांतर समतल के बीच का न्यून कोण $\theta$ है

यदि रेखा $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 2}{-1} = \frac{z + \lambda}{-2}$ समतल $2x - 4y + 3z = 2$ में स्थित है,तो इस रेखा और रेखा $\frac{x - 1}{12} = \frac{y}{9} = \frac{z}{4}$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

$z$-अक्ष और रेखा $x + y + 2z - 3 = 0 = 2x + 3y + 4z - 4$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

दिक् अनुपात $(2, 5, 1)$ वाली रेखा और समतल $8x + 2y - z = 4$ के बीच का कोण है

मान लीजिए कि रेखाएँ $L_{1}: \overrightarrow{r} = \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}), \lambda \in R$ और $L_{2}: \overrightarrow{r} = (\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}) + \mu(\hat{i} + \hat{j} + 5\hat{k}), \mu \in R$ बिंदु $S$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि एक समतल $ax + by - z + d = 0$,$S$ से होकर गुजरता है और दोनों रेखाओं $L_{1}$ और $L_{2}$ के समानांतर है,तो $a + b + d$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $L$ वह रेखा है जो $\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{b}-\vec{c}$ बिंदुओं से होकर गुजरती है। यदि $\pi$ एक समतल है जो $2\vec{a}-\vec{b}, 2\vec{b}-\vec{c}$ और $2\vec{c}-\vec{a}$ बिंदुओं से होकर गुजरता है, तो $L$ और $\pi$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है