જેની દિક્કોસાઇન $l_1 = \frac{-\sqrt{3}}{4}, m_1 = \frac{1}{4}, n_1 = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ અને $l_2 = \frac{-\sqrt{3}}{4}, m_2 = \frac{1}{4}, n_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોય તેવી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધો: (અંશમાં)

ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રણ રેખાઓની દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1)$,$(l_2, m_2, n_2)$ અને $(l_3, m_3, n_3)$ છે. આ રેખાઓ સમતલીય હશે જો

ધારો કે $A, B, C$ એ $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ પર ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી અનુક્રમે $3, 6, 9$ અંતરે આવેલા ત્રણ બિંદુઓ છે. ધારો કે $Q$ એ $(2, 5, 8)$ બિંદુ છે અને $P$ એ $O, A, B, C$ થી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે. તો,$PQ$ ને $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતા બિંદુ $R$ ના યામ શોધો.

જેની દિક્કોસાઇન સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^{2}+m^{2}-n^{2}=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે તેવી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો.

ધારો કે $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ એ બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન છે અને $\theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે,જ્યાં $\cos \theta = \pm(l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2)$. ધારો કે $A=(1, -2, 3)$,$B=(3, 1, -3)$,અને $C=(-3, 1, 3)$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે. તો,$\cos A =$

બે રેખાઓની દિક્કોસાઇન $l-m+n=0$ અને $2lm-3mn+nl=0$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલી છે. જો આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય, તો $\cos \theta=$