परवलय y^{2}=8x में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज | vedclass

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Question

(C) माना परवलय $y^2 = 8x$ है। इसका शीर्ष $O(0,0)$ पर है।माना समबाहु त्रिभुज $OAB$ है, जहाँ $A$ और $B$ परवलय पर स्थित हैं।माना $A$ के निर्देशांक $(2t^2

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$192$

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(C) माना परवलय $y^2 = 8x$ है। इसका शीर्ष $O(0,0)$ पर है।माना समबाहु त्रिभुज $OAB$ है, जहाँ $A$ और $B$ परवलय पर स्थित हैं।माना $A$ के निर्देशांक $(2t^2, 4t)$ हैं, जहाँ $t > 0$ है।चूंकि त्रिभुज समबाहु है और $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसलिए $B$ के निर्देशांक $(2t^2, -4t)$ होंगे।त्रिभुज की भुजा की लंबाई $AB = 4t - (-4t) = 8t$ है।कोण $\angle AOx = 30^{\circ}$ है क्योंकि त्रिभुज समबाहु है और $x$-अक्ष शीर्ष पर बने कोण को समद्विभाजित करता है।अतः, $	an 30^{\circ} = \frac{4t}{2t^2} = \frac{2}{t}$ है।चूंकि $	an 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$, जिससे $t = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।भुजा की लंबाई $s = 8t = 8(2\sqrt{3}) = 16\sqrt{3}$ है।समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} (16\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (256 	imes 3) = \frac{\sqrt{3}}{4} (768) = 192\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

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