मान लीजिए कि परवलय y^2 = 12x की 3sqrt{13} लंब | vedclass

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Question

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए, $4a = 12$, अतः $a = 3$ है। मान लीजिए $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।कोटि का अनुपात

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$3$/$5$

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(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए, $4a = 12$, अतः $a = 3$ है। मान लीजिए $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।कोटि का अनुपात $2at_1 : 2at_2 = 1 : 2$ है, जिसका अर्थ है $t_2 = 2t_1$ है।जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t_2 - t_1) \sqrt{(t_2 + t_1)^2 + 4}$ द्वारा दी जाती है।$a = 3$ और $t_2 = 2t_1$ रखने पर, हमें $3(t_1) \sqrt{(3t_1)^2 + 4} = 3\sqrt{13}$ प्राप्त होता है।अतः, $t_1 \sqrt{9t_1^2 + 4} = \sqrt{13}$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $t_1^2(9t_1^2 + 4) = 13$। मान लीजिए $u = t_1^2$, तो $9u^2 + 4u - 13 = 0$ है।$u$ के लिए हल करने पर, $(9u + 13)(u - 1) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $u > 0$, इसलिए $u = 1$, अतः $t_1 = 1$ और $t_2 = 2$ है।बिंदु $P(3, 6)$ और $Q(12, 12)$ हैं। नाभि $S$ के निर्देशांक $(a, 0) = (3, 0)$ हैं।$SP$ की ढाल $m_1 = (6 - 0) / (3 - 3) = \infty$ (एक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 3$)।$SQ$ की ढाल $m_2 = (12 - 0) / (12 - 3) = 12 / 9 = 4/3$ है।रेखाओं के बीच का कोण $\alpha$, सदिशों $\vec{SP} = (0, 6)$ और $\vec{SQ} = (9, 12)$ के बीच का कोण है।$\cos \alpha = (\vec{SP} \cdot \vec{SQ}) / (|SP| |SQ|) = (0 \cdot 9 + 6 \cdot 12) / (6 \cdot \sqrt{9^2 + 12^2}) = 72 / (6 \cdot 15) = 72 / 90 = 4/5$ है।चूंकि $\cos \alpha = 4/5$, इसलिए $\sin \alpha = 3/5$ होगा।

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