X-અક્ષની ઉપર આવેલ અને વર્તુળ x^2+y^2=2ax તથા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=2ax$ (જે $(x-a)^2+y^2=a^2$ છે) અને $y^2=ax$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=ax$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+ax=2ax \Rightar

Vedclass · Accepted Answer

$a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વક્રો $x^2+y^2=2ax$ (જે $(x-a)^2+y^2=a^2$ છે) અને $y^2=ax$ છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y^2=ax$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+ax=2ax \Rightarrow x^2-ax=0 \Rightarrow x(x-a)=0$. તેથી,$x=0$ અથવા $x=a$.$x=a$ માટે,$y^2=a^2 \Rightarrow y=a$ (કારણ કે આપણે $X$-અક્ષની ઉપરનો પ્રદેશ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ).છાયાંકિત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=a$ સુધી વર્તુળની નીચેના ક્ષેત્રફળમાંથી પરવલયની નીચેનું ક્ષેત્રફળ બાદ કરવાથી મળે છે.ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a (y_{circle} - y_{parabola}) dx = \int_0^a (\sqrt{a^2-(x-a)^2} - \sqrt{ax}) dx$.ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \int_0^a \sqrt{ax} dx$.પ્રથમ સંકલન એ $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે,જે $\frac{\pi a^2}{4}$ છે.બીજું સંકલન $\sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx = \sqrt{a} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^a = \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} a^{3/2} = \frac{2a^2}{3}$ છે.તેથી,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $\frac{\pi a^2}{4} - \frac{2a^2}{3} = a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$ ચોરસ એકમ છે.

$X$-અક્ષની ઉપર આવેલ અને વર્તુળ $x^2+y^2=2ax$ તથા પરવલય $y^2=ax$ વચ્ચે ઘેરાયેલા નાના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

Similar Questions

પ્રદેશ $\{(x, y): x^2 \leq y \leq 8-x^2, y \leq 7\}$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$x^2 + y^2 = 9$ વર્તુળ અને $y^2 \leq 8x$ પરવલય દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

વક્ર $y = x^2 + 2$ અને રેખાઓ $y = x$,$x = 0$ તથા $x = 3$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$y^{2}=8x$ અને $y=\sqrt{2}x$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ જે $y=\sqrt{2}x$,$x=1$ અને $y=2\sqrt{2}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની બહાર આવેલું છે,તે કેટલું થાય?

પરવલય $y=4x-x^2$ અને $3y=(x-4)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module