परवलय y^2=2x और रेखा y=4x-1 के बीच घिरे क्षेत | vedclass

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Question

(A) दिया गया परवलय का समीकरण $y^2=2x$ $\dots(i)$ और रेखा का समीकरण $y=4x-1$ $\dots(ii)$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $(ii)$ से $x = \frac{y

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$\frac{9}{32}$

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(A) दिया गया परवलय का समीकरण $y^2=2x$ $\dots(i)$ और रेखा का समीकरण $y=4x-1$ $\dots(ii)$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $(ii)$ से $x = \frac{y+1}{4}$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करें:$y^2 = 2\left(\frac{y+1}{4}\right) \implies y^2 = \frac{y+1}{2} \implies 2y^2 - y - 1 = 0$.द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2y+1)(y-1) = 0$, अतः $y = -\frac{1}{2}$ और $y = 1$.संगत $x$ मान $x = \frac{(-1/2)+1}{4} = \frac{1}{8}$ और $x = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$ हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{1}{8}, -\frac{1}{2})$ और $(\frac{1}{2}, 1)$ हैं।आवश्यक क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:$Area = \int_{-1/2}^{1} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-1/2}^{1} (\frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2}) dy$.$= \frac{1}{4} \int_{-1/2}^{1} (y+1) dy - \frac{1}{2} \int_{-1/2}^{1} y^2 dy$.$= \frac{1}{4} [\frac{y^2}{2} + y]_{-1/2}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{y^3}{3}]_{-1/2}^{1}$.$= \frac{1}{4} [(\frac{1}{2} + 1) - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2})] - \frac{1}{6} [1 - (-\frac{1}{8})]$.$= \frac{1}{4} [\frac{3}{2} + \frac{3}{8}] - \frac{1}{6} [\frac{9}{8}] = \frac{1}{4} [\frac{15}{8}] - \frac{3}{16} = \frac{15}{32} - \frac{6}{32} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

परवलय $y^2=2x$ और रेखा $y=4x-1$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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वक्रों $y=\frac{8}{x}$,$y=2x$ और $x=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

$|y| = 4 - x^2$ और $|y| = 3x$ द्वारा परिबद्ध छोटे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\left( 3K + \frac{1}{3} \right)$ वर्ग इकाई है,जहाँ $K$ का मान ज्ञात कीजिए:

$X$-अक्ष के ऊपर स्थित और वृत्त $x^{2}+y^{2}=2ax$ तथा परवलय $y^{2}=ax$, $a>0$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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