परवलय y^2 = 4x और रेखा 2x + y - 4 = 0 के बीच | vedclass

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Question

(C) परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $2x + y - 4 = 0$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।रेखा के समीकरण

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$9$

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(C) परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $2x + y - 4 = 0$ द्वारा घिरे क्षेत्रफल को ज्ञात करने के लिए,हम पहले उनके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं।रेखा के समीकरण $2x + y - 4 = 0$ में $x = \frac{y^2}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2(\frac{y^2}{4}) + y - 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $\frac{y^2}{2} + y - 4 = 0$ या $y^2 + 2y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(y + 4)(y - 2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = -4$ और $y = 2$ है।वांछित क्षेत्रफल $y = -4$ से $y = 2$ तक रेखा और परवलय के बीच के अंतर का $y$ के सापेक्ष समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।क्षेत्रफल $= \int_{-4}^{2} (x_{line} - x_{parabola}) dy = \int_{-4}^{2} (\frac{4 - y}{2} - \frac{y^2}{4}) dy$.क्षेत्रफल $= \int_{-4}^{2} (2 - \frac{y}{2} - \frac{y^2}{4}) dy$.समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $[2y - \frac{y^2}{4} - \frac{y^3}{12}]_{-4}^{2}$.$y = 2$ पर: $2(2) - \frac{4}{4} - \frac{8}{12} = 4 - 1 - \frac{2}{3} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$.$y = -4$ पर: $2(-4) - \frac{16}{4} - \frac{-64}{12} = -8 - 4 + \frac{16}{3} = -12 + \frac{16}{3} = \frac{-36 + 16}{3} = -\frac{20}{3}$.क्षेत्रफल $= \frac{7}{3} - (-\frac{20}{3}) = \frac{7 + 20}{3} = \frac{27}{3} = 9$ वर्ग इकाई।

परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $2x + y - 4 = 0$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल है

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