वक्रों y=x^3, y=x^2 और रेखाओं x=0 तथा x=2 द्व | vedclass

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Question

(B) क्षेत्रफल $A$ वक्रों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है: $A = \int_{0}^{2} |x^3 - x^2| \, dx$. सबसे पहले, प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^3 =

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$\frac{3}{2}$

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(B) क्षेत्रफल $A$ वक्रों के बीच के अंतर के मापांक का समाकलन है: $A = \int_{0}^{2} |x^3 - x^2| \, dx$. सबसे पहले, प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^3 = x^2 \implies x^2(x-1) = 0$, अतः $x=0$ और $x=1$. अंतराल $[0, 1]$ में, $x^2 \ge x^3$, इसलिए $|x^3 - x^2| = x^2 - x^3$. अंतराल $[1, 2]$ में, $x^3 \ge x^2$, इसलिए $|x^3 - x^2| = x^3 - x^2$. अतः, $A = \int_{0}^{1} (x^2 - x^3) \, dx + \int_{1}^{2} (x^3 - x^2) \, dx$. प्रथम समाकलन का मान: $[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$. द्वितीय समाकलन का मान: $[\frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = (\frac{16}{4} - \frac{8}{3}) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (-\frac{1}{12}) = \frac{4}{3} + \frac{1}{12} = \frac{17}{12}$. कुल क्षेत्रफल $A = \frac{1}{12} + \frac{17}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

वक्रों $y=x^3$, $y=x^2$ और रेखाओं $x=0$ तथा $x=2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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