यदि क्षेत्र S={(x, y): 2y - y^2 leq x^2 leq 2 | vedclass

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Question

(D) क्षेत्र $S$ को असमिकाओं $x^2 \leq 2y$,$x^2 \geq 2y - y^2$,और $x \geq y$ द्वारा परिभाषित किया गया है।पहला,$x^2 \leq 2y$ परवलय $x^2 = 2y$ के अंदर के

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(D) क्षेत्र $S$ को असमिकाओं $x^2 \leq 2y$,$x^2 \geq 2y - y^2$,और $x \geq y$ द्वारा परिभाषित किया गया है।पहला,$x^2 \leq 2y$ परवलय $x^2 = 2y$ के अंदर के क्षेत्र को दर्शाता है।दूसरा,$x^2 + y^2 - 2y \geq 0$ वृत्त $x^2 + (y-1)^2 = 1$ के बाहर के क्षेत्र को दर्शाता है।तीसरा,$x \geq y$ रेखा $y = x$ के नीचे का क्षेत्र है।$x^2 = 2y$ और $x = y$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(2, 2)$ हैं।क्षेत्रफल वक्रों के बीच के अंतर का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है।$x^2 = 2y$ और $y = x$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\int_0^2 (x - \frac{x^2}{2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^2 = 2 - \frac{8}{6} = \frac{2}{3}$ है।हालाँकि,हमें परवलय के अंदर रेखा $x=y$ द्वारा काटे गए वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल घटाना होगा।क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{4}{3} - \frac{\pi}{4}$ है।इसे $\frac{n+2}{n+1} - \frac{\pi}{n-1}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n-1 = 4 \Rightarrow n = 5$ प्राप्त होता है।पहले पद की जाँच करने पर: $\frac{5+2}{5+1} = \frac{7}{6}$।अतः,$n = 5$।

यदि क्षेत्र $S=\{(x, y): 2y - y^2 \leq x^2 \leq 2y, x \geq y\}$ का क्षेत्रफल $\frac{n+2}{n+1} - \frac{\pi}{n-1}$ के बराबर है,तो प्राकृतिक संख्या $n$ का मान $...............$ है।

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