वक्रों y=2x^2, y=max {x-[x], x+|x|} और रेखाओं | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $y=2x^2$ और $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ हैं।चूंकि $x-[x] = \{x\}$, इसलिए $y=\max \{\{x\}, x+|x|\}$ है।$x \in [0, 2]$ के लिए, $x+|x| = 2x

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$2$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए वक्र $y=2x^2$ और $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ हैं।चूंकि $x-[x] = \{x\}$, इसलिए $y=\max \{\{x\}, x+|x|\}$ है।$x \in [0, 2]$ के लिए, $x+|x| = 2x$ और $\{x\} \in [0, 1)$ होता है।सभी $x \in [0, 2]$ के लिए $2x \geq \{x\}$ होने के कारण, फलन $y=2x$ में सरल हो जाता है।हमें $x=0$ और $x=2$ के बीच $y=2x^2$ और $y=2x$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल ज्ञात करना है।वक्र $2x^2 = 2x$ पर प्रतिच्छेद करते हैं, जिससे $x^2-x=0$ मिलता है, अतः $x=0$ और $x=1$ प्राप्त होते हैं।$x \in [0, 1]$ के लिए, $2x \geq 2x^2$ है। $x \in [1, 2]$ के लिए, $2x^2 \geq 2x$ है।आवश्यक क्षेत्रफल $\int_0^1 (2x - 2x^2) dx + \int_1^2 (2x^2 - 2x) dx$ है।$= [x^2 - \frac{2x^3}{3}]_0^1 + [\frac{2x^3}{3} - x^2]_1^2$.$= (1 - \frac{2}{3}) + [(\frac{16}{3} - 4) - (\frac{2}{3} - 1)]$.$= \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

Column-$I$	Column-$II$
$(A)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $2(a^2-b^2)=c^2$ और $\lambda=\frac{\sin(X-Y)}{\sin Z}$ है,तो $n$ के संभावित मान जिनके लिए $\cos(n\pi\lambda)=0$ है,वे हैं	$(P)$ $1$
$(B)$ एक त्रिभुज $\triangle XYZ$ में,मान लीजिए $a, b$ और $c$ क्रमशः कोणों $X, Y$ और $Z$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यदि $1+\cos 2X-2\cos 2Y=2\sin X\sin Y$ है,तो $\frac{a}{b}$ का संभावित मान (मानों) है	$(Q)$ $2$
$(C)$ $\mathbb{R}^2$ में,मान लीजिए $\sqrt{3}\hat{i}+\hat{j}$,$\hat{i}+\sqrt{3}\hat{j}$ और $\beta\hat{i}+(1-\beta)\hat{j}$ क्रमशः मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $X, Y$ और $Z$ के स्थिति सदिश हैं। यदि $\overline{OX}$ और $\overline{OY}$ के बीच के न्यून कोण के समद्विभाजक से $Z$ की दूरी $\frac{3}{\sqrt{2}}$ है,तो $\|\beta\|$ का संभावित मान (मानों) है	$(R)$ $3$
$(D)$ मान लीजिए कि $F(\alpha)$ उस क्षेत्र का क्षेत्रफल दर्शाता है जो $x=0, x=2, y^2=4x$ और $y=\|\alpha x-1\|+\|\alpha x-2\|+\alpha x$ द्वारा घिरा है,जहाँ $\alpha \in \{0, 1\}$ है। तो जब $\alpha=0$ और $\alpha=1$ है,तब $F(\alpha)+\frac{8}{3}\sqrt{2}$ का मान (मानों) है	$(S)$ $5$
	$(T)$ $6$

वक्रों $y=2x^2$, $y=\max \{x-[x], x+|x|\}$ और रेखाओं $x=0, x=2$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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