परवलय y=4x-x^2 और 3y=(x-4)^2 द्वारा घिरे क्षे | vedclass

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Question

(C) क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं:$y = 4x - x^2$ और $3y = (x - 4)^2$पहले समीकरण से $y$ का म

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(C) क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करते हैं:$y = 4x - x^2$ और $3y = (x - 4)^2$पहले समीकरण से $y$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:$3(4x - x^2) = (x - 4)^2$$12x - 3x^2 = x^2 - 8x + 16$$4x^2 - 20x + 16 = 0$$x^2 - 5x + 4 = 0$$(x - 1)(x - 4) = 0$अतः,वक्र $x = 1$ और $x = 4$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।क्षेत्रफल $A$ को $x = 1$ से $x = 4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:$A = \int_1^4 \left[ (4x - x^2) - \frac{(x - 4)^2}{3} \right] dx$$A = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{(x - 4)^3}{9} \right]_1^4$$A = \left( 2(4)^2 - \frac{(4)^3}{3} - \frac{(4 - 4)^3}{9} \right) - \left( 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - \frac{(1 - 4)^3}{9} \right)$$A = \left( 32 - \frac{64}{3} - 0 \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{-27}{9} \right)$$A = \left( \frac{96 - 64}{3} \right) - \left( 2 - \frac{1}{3} + 3 \right)$$A = \frac{32}{3} - \left( 5 - \frac{1}{3} \right) = \frac{32}{3} - \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6$

परवलय $y=4x-x^2$ और $3y=(x-4)^2$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल किसके बराबर है?

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