परवलय y=x^{2}-4x+5 और सीधी रेखा y=x+1 द्वारा | vedclass

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Question

(D) दिया गया परवलय का समीकरण $y=x^{2}-4x+5$ $(i)$ है और रेखा का समीकरण $y=x+1$ (ii) है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों की तुलना

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(D) दिया गया परवलय का समीकरण $y=x^{2}-4x+5$ $(i)$ है और रेखा का समीकरण $y=x+1$ (ii) है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम दोनों समीकरणों की तुलना करते हैं:$x^{2}-4x+5 = x+1$$x^{2}-5x+4 = 0$$(x-1)(x-4) = 0$अतः, प्रतिच्छेदन बिंदु $x=1$ और $x=4$ पर हैं।आवश्यक क्षेत्रफल $x=1$ से $x=4$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:$	ext{Area} = \int_{1}^{4} \{(x+1) - (x^{2}-4x+5)\} dx$$	ext{Area} = \int_{1}^{4} (-x^{2}+5x-4) dx$$	ext{Area} = \left[ -\frac{x^{3}}{3} + \frac{5x^{2}}{2} - 4x ight]_{1}^{4}$सीमाओं को रखने पर:$	ext{Area} = \left( -\frac{64}{3} + \frac{5(16)}{2} - 4(4) ight) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5(1)}{2} - 4(1) ight)$$	ext{Area} = \left( -\frac{64}{3} + 40 - 16 ight) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4 ight)$$	ext{Area} = \left( 24 - \frac{64}{3} ight) - \left( \frac{5}{2} - \frac{13}{3} ight)$$	ext{Area} = \frac{8}{3} - \left( \frac{15-26}{6} ight) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{11}{6} ight) = \frac{16+11}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

परवलय $y=x^{2}-4x+5$ और सीधी रेखा $y=x+1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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यदि क्षेत्र $\{(x, y): x^{2/3} + y^{2/3} \leq 1, x + y \geq 0, y \geq 0\}$ का क्षेत्रफल $A$ है,तो $\frac{256A}{\pi}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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