વક્રો y = log_e x અને y = (log_e x)^2 દ્વારા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વક્રો $y = \log_e x$ અને $y = (\log_e x)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $\log_e x = (\log_e x)^2$ લઈને છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.ધ

Vedclass · Accepted Answer

$3 - e$

Vedclass · Answer

(A) વક્રો $y = \log_e x$ અને $y = (\log_e x)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $\log_e x = (\log_e x)^2$ લઈને છેદબિંદુઓ નક્કી કરીએ.ધારો કે $u = \log_e x$. તો $u = u^2$,જેનો અર્થ છે $u^2 - u = 0$,તેથી $u(u - 1) = 0$. આમ,$u = 0$ અથવા $u = 1$.$u = 0$ માટે,$\log_e x = 0 \implies x = 1$. $u = 1$ માટે,$\log_e x = 1 \implies x = e$.વક્રો $x = 1$ અને $x = e$ પર છેદે છે. અંતરાલ $[1, e]$ માં,$\log_e x \ge (\log_e x)^2$ છે.જરૂરી ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:$A = \int_1^e [\log_e x - (\log_e x)^2] \, dx$$A = \int_1^e \log_e x \, dx - \int_1^e (\log_e x)^2 \, dx$ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:$\int \log_e x \, dx = x \log_e x - x$$\int (\log_e x)^2 \, dx = x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x$નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:$\int_1^e \log_e x \, dx = [x \log_e x - x]_1^e = (e \log_e e - e) - (1 \log_e 1 - 1) = (e - e) - (0 - 1) = 1$$\int_1^e (\log_e x)^2 \, dx = [x(\log_e x)^2 - 2x \log_e x + 2x]_1^e = (e(1)^2 - 2e(1) + 2e) - (1(0)^2 - 2(1)(0) + 2(1)) = (e - 2e + 2e) - (2) = e - 2$તેથી,$A = 1 - (e - 2) = 3 - e$.

વક્રો $y = \log_e x$ અને $y = (\log_e x)^2$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Similar Questions

વક્રો $x^2=9y$,$(x-6)^2=9y$ અને $X$-અક્ષ દ્વારા ઘેરાયેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) શોધો.

પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $x^2+y^2=8$ ની અંદર અને પરવલય $y^2=2x$ ની બહારના પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?

$\{(x, y) : y \leq x^2, xy \leq 8, y \geq 1\}$ દ્વારા આવરી લેવાયેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમોમાં) છે:

પરવલયો ${y^2 = 4x}$ અને ${x^2 = 4y}$ વચ્ચે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module